|
Тема:
Применение производной к
исследованию функций.
Цели:
-
Образовательные:
- повторение свойств функций и правил вычисления производной;
- составление и применение алгоритма нахождения промежутков возрастания,
убывания и экстремумов функций.
2.
Развивающие:
- применение полученных знаний в новых условиях и нестандартных
ситуациях;
- составление нового алгоритма решения задачи.
3.
Воспитательные:
- формирование способностей находить причинно-следственные связи;
- развитие логики и речи учащихся;
- развитие умения работать в группе, отстаивать свое мнение, принимать
участие в диалоге, принимать точку зрения собеседника.
Ход урока.
1.
Вступительное слово учителя.
Несколько уроков вы учились вычислять производные различных функций и
часто задавали вопросы: «А зачем?». Наш урок – один из ответов на данный
вопрос. Сегодня мы рассмотрим одну из областей применения производной –
исследование функций. Вы уже умеете исследовать некоторые функции,
используя их графики: квадратичную, линейную, обратную и
пропорциональность. А вот какими, например, будут свойства функции у=х3-12х+1,
в частности, промежутки возрастания, убывания и экстремумы. И можно ли
наоборот, зная свойства функции, построить её график?
Сегодня на уроке будет работать две группы: теоретики и практики.
Теоретики будут разрабатывать алгоритм нахождения промежутков
возрастания и убывания, и экстремумом функции на основании известных вам
теорем: признака возрастания и убывания функции, необходимого и
достаточного признака экстремума. Группа практиков будет апробировать
полученный алгоритм для решения задач.
2.
Работа в группах.
Практики. (повторение и актуализация опорных знаний)
Самостоятельная работа через копирку. Два человека за доской.
1.
Вычислить производную заданной функции:
у=-х3+3х+2 / у= 2х3-9х2-60/.
2.
Решить уравнение у(х)=0, если
у(х)=х4-2х2+2 / у(х)= 12х-х3/.
3.
Записать промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции, заданной
графически:
4.
Решить неравенство методом интервалов:
(х-2)(х-5)>0 / (х+3)(х-8)<0/.
Теоретики. Работа в группе. Составление алгоритма при помощи
опорных теорем и схем.
3.
Проверка самостоятельной работы. (коррекция опорных знаний)
Практики выставляют себе оценки, теоретики проверяют устно правильность
выполнения работ на доске.
4.
Защита разработанного алгоритма теоретиками. Применение его для
исследования функции у=х3-12х+1
5.
Устная работа.
1. По
данным таблицам определить нанести на координатную плоскость промежутки
возрастания и убывания функций (3 человека одновременно на доске):
|
х |
(- ;-2) |
-2 |
(-2;0) |
0 |
(0;+ ) |
|
у(х) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
у(х) |
|
-1 |
|
3 |
|
|
х |
(-7;1) |
1 |
(1;6) |
6 |
(6;7 ) |
|
у(х) |
+ |
0 |
|
0 |
+ |
|
у(х) |
|
-3 |
|
10 |
|
|
х |
(-3 ;0) |
0 |
(0;4) |
4 |
(4;8) |
8 |
(8;+ ) |
|
у(х) |
+ |
|
- |
|
|
|
|
|
у(х) |
|
-3 |
|
-5 |
|
6 |
|
|
|
|
max |
|
min |
|
max |
|
2.
Какая из схем отражает знаки производной заданной графически функции
3.
Укажите точки, в которых производная функции равна нулю.
6.
Исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремумы. Работает
весь класс. Один человек у доски. Обращается внимание на правильное
оформление работы.
7. .
Самостоятельная работа в динамических парах. Практики
Определить
промежутки возрастания, убывания и экстремумы данных функций:
у=-х3+3х+2;
у= х4-2х2+2;
у=х3-6х2;
у=12х-х3;
у=2х3-9х2-60х.
Теоретики. Работа в группе. Определить промежутки
возрастания, убывания и экстремумы данных функций:
у= х/(х2-1);
у= 1/х2.
8.
Теоретики (3 человека) объясняют всему классу свои решения.
9.
Практики по итогам работы в парах выставляют себе оценки.
10. Итог
урока.
Продолжить фразу «Я знаю…», «Я умею…», «Я научился…».
11.
Выставление оценок: практики – по итогам двух работ. Теоретики
оценивают друг друга по работе в группе.
Опорная схема.
1.
Признак возрастания (убывания) функции.
Если на некотором промежутке производная функции
положительна (отрицательна), то функция на этом промежутке возрастает
(убывает).
2.
Необходимое условие существования экстремума.
В точке экстремума производная обращается в нуль.
3. Достаточное условие экстремума.
Если в некоторой точке производная обращается в
нуль и, кроме того, проходя через неё, производная меняет свой знак с
плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума, если с
минуса на плюс, то минимума.
4.Какими точками разграничиваются промежутки возрастания и убывания
функции?
5. Определение знака производной: вспомните метод интервалов, |
